זהויות 5: סינוס של זווית כפולהטריגונומטריה 571 · שיעור 42
טריגונומטריה · שאלון 571
שיעור 41 – זהויות 5: סינוס של זווית כפולה
פרק 6 – זהויות טריגונומטריות
1נוסח השאלה
2סעיף א – בדיקה
3סעיף ב – sin(2x)
4סעיף ג – השטח בשתי דרכים
5סעיף ד – משוואה
📄 נוסח השאלה
א. בדקו במחשבון את הזהות sin(2x) = 2 sin x · cos x עבור x = 30.
ב. נתון sin x = 0.6 ו־x זווית חדה. מצאו את sin(2x).
ג. במשולש שווה שוקיים ABC נתון AB = AC = k ו־∢BAC = 2x. AD גובה לבסיס. הביעו את שטח המשולש באמצעות k ו־x בשתי דרכים, והראו שמתקבלת אותה תוצאה.
ד. פתרו את המשוואה 2 sin x · cos x = 0.5 עבור זווית x בין 0 ל־90 מעלות.
סעיף א – בדיקה
sin(2 · 30) = sin 60 ≈ 0.866
2 · sin 30 · cos 30 = 2 · 0.5 · 0.866 ≈ 0.866
יצא אותו מספר.
הזהות (מופיעה בדף הנוסחאות):
📐 סינוס של זווית כפולה
שימו לב: sin(2x) אינו 2 sin x: למשל sin 60 ≈ 0.866 אבל 2 sin 30 = 1.
✅ פתרון סופי: 0.866 = 0.866 ✓
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף ב – sin(2x)
קודם מוצאים את cos x:
cos2x = 1 − sin2x = 1 − 0.36 = 0.64
📐 זהות יסודית
cos x = 0.8
(זווית חדה – קוסינוס חיובי)
sin(2x) = 2 · sin x · cos x
📐 סינוס של זווית כפולה
נציב sin x = 0.6 (נתון) ו־cos x = 0.8 (מצאנו):
📐 זהות יסודית
sin2x + cos2x = 1
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף ב – sin(2x) · המשך
נציב sin x = 0.6 (נתון) ו־cos x = 0.8 (מצאנו):
sin(2x) = 2 · 0.6 · 0.8 = 0.96
✅ פתרון סופי: sin(2x) = 0.96
סעיף ג – השטח בשתי דרכים
דרך 1: שתי צלעות והזווית שביניהן:
S = 12 · AB · AC · sin∢BAC
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
S = 12 · k · k · sin(2x) = k2 sin(2x)2
דרך 2: במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית, ולכן ∢BAD = x. במשולש ABD (ישר זווית ב־D):
BD = k · sin x
📐 סינוס במשולש ישר זווית
AD = k · cos x
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
📐 שטח משולש בעזרת סינוס
S = 12 · a · b · sin∢C
הזווית שבין a ו־b
הזווית שבין a ו־b
📐 סינוס במשולש ישר זווית
sin = ניצב מול הזוויתיתר
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
סעיף ג – השטח בשתי דרכים · המשך
AD = k · cos x
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
הגובה AD הוא גם תיכון, ולכן BC = 2BD = 2k · sin x:
S = BC · AD2 = 2k sin x · k cos x2
📐 שטח משולש
S = k2 sin x · cos x
ולפי הזהות:
k2 sin(2x)2 = k2 · 2 sin x cos x2
📐 סינוס של זווית כפולה
📐 קוסינוס במשולש ישר זווית
cos = ניצב ליד הזוויתיתר
📐 שטח משולש
S = צלע · גובה לצלע2
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף ג – השטח בשתי דרכים · המשך
k2 sin(2x)2 = k2 · 2 sin x cos x2
📐 סינוס של זווית כפולה
k2 · 2 sin x cos x2 = k2 sin x cos x
✅ פתרון סופי: S = k2 sin(2x)2 = k2 sin x · cos x
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
סעיף ד – משוואה
2 sin x · cos x = sin(2x)
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 0.5
אם x בין 0 ל־90, אז 2x בין 0 ל־180 – ויש שתי זוויות עם סינוס 0.5:
2x = 30
2x = 180 − 30 = 150
📐 זוויות משלימות ל־180 מעלות
x = 15 או x = 75
📐 סינוס של זווית כפולה
sin(2x) = 2 sin x · cos x
📐 זוויות משלימות ל־180 מעלות
sin(180 − x) = sin x
סעיף ד – משוואה · המשך
x = 15 או x = 75
בדיקה: 2 sin 15 cos 15 ≈ 0.5 ✓
✅ פתרון סופי: x = 15 או x = 75
📌 סיכום התשובות
סעיף א
הזהות מתקיימת
סעיף ב
sin(2x) = 0.96
סעיף ג
S = k2 sin x cos x
סעיף ד
x = 15 או x = 75
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא